คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่าถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอ ดังรูป มุม A = มุม B = มุม C

เส้นโค้งที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีกจากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 8 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่าจำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34
ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของอันดับชนิดหนึ่งที่มีชื่อว่า อันดับฟิโบนักชี ที่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีแห่งเมืองปีซา (Pisa) ชื่อเลโอนาร์โด ฟิโบนักชี (Leonardo Fibonacci ค.ศ. 1170-1240) เป็นผู้ค้นพบ
อันดับนั้นมีลักษณะดังนี้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... พจน์ที่หนึ่งและพจน์ที่สองของอันดับเป็น 1 พจน์ต่อๆ ไปได้จากผลบวก ของสองพจน์ที่อยู่ติดกัน จะเห็นได้ว่าอัตราส่วนของเส้นโค้งของตาลูกสน ซึ่งเท่ากับ 5 กับ 8 อัตราส่วนของเส้นโค้งของตาสับปะรดที่เท่ากับ 8 ต่อ 13 และอัตราส่วนของเส้นโค้งของเกสรดอกทานตะวันที่เท่ากับ 21 ต่อ 34 นั้น ตัวเลขที่อยู่ในอัตราส่วนเหล่านี้เป็นพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันในอันดับนี้
ตัวอย่างจากธรรมชาติที่เป็นไปตามอันดับฟิโบนักชี ได้แก่ การกำเนิดของผึ้ง ความเจริญของพืช เช่น สาหร่าย ก็จะมีรูปแบบเช่นนี้
อันดับฟิโบนักชีนอกจากจะเกี่ยวข้องในวิชาชีววิทยาแล้ว ยังมีอิทธิพลในด้านศิลปะและสถาปัตยกรรม นั่นคืออัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ และพจน์ที่หกของอันดับ ซึ่งได้แก่ 5 ต่อ 8 หรือ 1 ต่อ 1.6 อัตราส่วนนี้มีชื่อว่า อัตราส่วนโกเดน (Golden Ratio) หรือส่วนแบ่งโกลเดน (Golden Section) เป็นที่ยอมรับกันว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อัตราส่วนของด้านกว้างและด้านยาวเป็น 1 ต่อ 1.6 จะเป็นรูปที่มีสัดส่วนสวยงามที่สุดและมีชื่อว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน (Golden Rectangle)
ถ้าจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดนโดยใช้เรขาคณิตจะทำได้ดังนี้ เริ่มต้นสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD แล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วยเส้นประ EF ใช้ F เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวเท่าเส้นทแยงมุม FC เขียนส่วนโค้ง CG ไปตัดด้าน AD ต่อออกไปที่ G จะได้ AG เป็นด้านยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลาก GH ตั้งฉากกับ AG พบ BC ต่อออกไปที่ H จะได้ GH เป็นด้านกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป ABHG เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน และรูป CDGH ก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน